Considere a geometria euclidiana como a regra básica do bilhar numa mesa perfeitamente plana. Se você tacar uma bola em linha reta ao lado da borda, ela seguirá para sempre em paralelo a ela, se nada a desviar. Por mais de dois mil anos, a matemática ocidental acreditou que essa mesa plana era a única realidade possível. O que o matemático russo Lobachevsky percebeu foi que poderíamos jogar sinuca na superfície de uma sela de cavalo ou numa batata frita ondulada. Nessa nova superfície, as linhas retas se afastam naturalmente umas das outras, permitindo que várias trajetórias passem por um mesmo ponto sem jamais cruzar a borda original. Os triângulos desenhados a partir de suas trajetórias ficam “magros”, com ângulos mais fechados. A revolução de Lobachevsky foi provar que o universo das regras matemáticas é muito maior do que o espaço onde os nossos olhos estão acostumados a jogar.
Uma geometria pode ser verdadeira sem ser a geometria do mundo? Durante mais de dois mil anos, os Elementos de Euclides foram o modelo do saber demonstrativo. De poucos princípios, deduziam-se com necessidade os demais teoremas. Um desses princípios, porém, jamais pareceu tão evidente quanto os outros: o quinto postulado, o das paralelas. Em sua formulação equivalente mais conhecida, afirma que, por um ponto exterior a uma reta, passa uma única reta que não a encontra.
Durante séculos, matemáticos tentaram demonstrar esse postulado a partir dos demais. Girolamo Saccheri, em Euclides ab omni naevo vindicatus (1733), supôs sua negação na esperança de obter uma contradição. Johann Heinrich Lambert seguiu uma estratégia semelhante. Ambos chegaram a consequências incomuns, mas não à contradição esperada. Saccheri sentenciou que a hipótese do ângulo agudo seria “repugnante à natureza da linha reta”; hoje, muitos dos resultados que derivou são reconhecidos como teoremas da geometria hiperbólica.
O matemático russo Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1792–1856), professor e depois reitor da Universidade de Kazan, deu o passo que seus antecessores não deram. Em vez de tratar a negação do postulado como uma hipótese a ser refutada, tomou-a como fundamento de uma geometria alternativa. Expôs suas ideias à seção de Física e Matemática da Universidade de Kazan em 1826 e publicou a primeira apresentação da teoria em “Sobre os princípios da geometria”, entre 1829 e 1830.
Pouco depois, o húngaro János Bolyai chegou de modo independente a resultados equivalentes, publicados em 1832 como apêndice à obra de seu pai, Farkas Bolyai. Carl Friedrich Gauss havia refletido longamente sobre o mesmo problema e reconheceu em correspondência privada o valor das novas ideias, mas não publicou uma teoria não euclidiana sistemática.
Na geometria de Lobachevsky, a geometria hiperbólica, por um ponto exterior a uma reta passam infinitas retas que não encontram essa reta. Daí decorrem consequências que desafiam a intuição euclidiana. A soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre menor que 180 graus, e o seu déficit angular aumenta com a área. Não existem triângulos semelhantes de tamanhos diferentes. Isto é, se dois triângulos têm os mesmos ângulos, são congruentes. O ângulo de paralelismo também depende da distância entre o ponto e a reta dada. Em unidades de curvatura adequadas, a relação é
A forma equivalente ou a fórmula de Lobachevsky para o ângulo de paralelismo.
Em regiões muito pequenas em comparação com o raio de curvatura, a geometria hiperbólica aproxima-se da euclidiana. Isso ajuda a explicar por que medições cotidianas não revelam imediatamente desvios em relação à geometria de Euclides. A geometria euclidiana é, nesse sentido, uma excelente aproximação local de espaços cuja curvatura seja muito pequena na escala observada.
O nome escolhido por Lobachevsky, “geometria imaginária”, deu título a um trabalho publicado em russo em 1835 e, em francês, como “Géométrie imaginaire”, no Journal für die reine und angewandte Mathematik de Crelle, em 1837. O termo tinha um sentido técnico. A trigonometria hiperbólica pode ser obtida formalmente a partir de expressões da geometria esférica mediante a substituição do raio real da esfera por um raio imaginário. A geometria hiperbólica comportava-se, assim, como uma geometria esférica de raio imaginário
O termo também tinha alcance epistemológico. Tal como os números imaginários, a nova geometria podia ser matematicamente legítima por sua coerência, mesmo antes de se decidir se descrevia o espaço físico. Lobachevsky não se contentou, porém, com essa coerência formal. Para ele, a geometria do espaço físico era questão empírica, a ser investigada por observação e medição, não estabelecida apenas pela intuição ou pela razão pura. O matemático procurou estimar possíveis desvios euclidianos por meio de grandes triângulos astronômicos e de dados de paralaxe estelar.
Essa posição contrariava a filosofia de Kant, para quem o espaço euclidiano era uma forma a priori da sensibilidade e a geometria euclidiana possuía o estatuto de conhecimento sintético a priori. A geometria não euclidiana mostrou que uma teoria geometricamente coerente não precisava partir da estrutura euclidiana do espaço; a questão de qual geometria descreve o espaço físico passou a exigir, em princípio, resposta empírica.
A recepção inicial foi hostil. O trabalho de Lobachevsky recebeu um parecer negativo de Mikhail Ostrogradsky em 1832, e a teoria foi alvo de ironia em periódicos de São Petersburgo. Em 1840, Lobachevsky publicou em alemão as Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien. Gauss leu a obra, reconheceu sua importância em cartas privadas e apoiou a eleição de Lobachevsky como membro correspondente da Sociedade Científica de Göttingen, mas não assumiu uma defesa pública da teoria. Já cego, Lobachevsky ditou sua última exposição do sistema, a Pangeometria, publicada em 1855, um ano antes de sua morte.
A reabilitação veio depois. Em 1868, Eugenio Beltrami mostrou que a geometria de Lobachevsky admitia modelos dentro da geometria euclidiana, relacionando-a à geometria intrínseca de superfícies de curvatura negativa e construindo um modelo projetivo no disco. Esses resultados estabeleceram a consistência relativa da geometria hiperbólica: se a geometria euclidiana é consistente, a geometria hiperbólica também o é.
Felix Klein e Henri Poincaré desenvolveram outros modelos euclidianos da geometria hiperbólica, hoje associados a seus nomes. Esses modelos não demonstram que o espaço físico seja hiperbólico. Demonstram, antes, que a rejeição do quinto postulado não conduz a uma contradição lógica, desde que a geometria euclidiana seja consistente. A pergunta antiga, portanto, mudou de forma: não se tratava mais de provar que Euclides era inevitável, mas de investigar que estrutura geométrica melhor descreve o espaço físico.
Bernhard Riemann já havia ampliado a questão em sua conferência de habilitação de 1854, ao conceber espaços de diferentes dimensões e curvaturas variáveis. Mais tarde, a relatividade geral de Einstein fez da geometria do espaço-tempo uma questão física: a distribuição de matéria e energia está ligada à curvatura da estrutura espaço-temporal. A geometria deixou de ser apenas um sistema abstrato de demonstrações ou uma descrição fixa da extensão e tornou-se também linguagem para a física.
Por fim, a geometria não euclidiana alterou o sentido da palavra “axioma”. Os axiomas deixaram de ser entendidos necessariamente como verdades autoevidentes sobre o espaço e passaram a poder ser tratados como hipóteses formais, cujas consequências são investigadas dedutivamente. Em seus Fundamentos da geometria (1899), David Hilbert levaria esse deslocamento a uma formulação axiomática decisiva. A certeza demonstrativa permaneceu, mas mudou de lugar. Serve para garantir que as conclusões seguem das premissas, não que as premissas descrevem, por si mesmas, o mundo.
William Kingdon Clifford chamou Lobachevsky de “Copérnico da geometria”. A comparação é justa. Lobachevsky não aboliu a geometria euclidiana: mostrou que ela não é a única geometria logicamente possível e que sua aplicação ao mundo não pode ser decidida somente pela evidência intuitiva.
SAIBA MAIS
Beltrami, Eugenio. “Saggio di interpretazione della geometria non-euclidea”. Giornale di Matematiche, v. 6, 1868, p. 284–312.
Bonola, Roberto. Non-Euclidean Geometry: A Critical and Historical Study of Its Development. Tradução de H. S. Carslaw. Chicago: Open Court, 1912.
Gray, Jeremy. Ideas of Space: Euclidean, Non-Euclidean, and Relativistic. 2. ed. Oxford: Clarendon Press, 1989.
Lobachevsky, Nikolai I. “Géométrie imaginaire”. Journal für die reine und angewandte Mathematik, v. 17, 1837, p. 295–320.
Lobatschefskij, Nikolaus. Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien. Berlin: G. Fincke, 1840.
Lobachevsky, Nikolai I. Pangeometry. Edição e tradução de Athanase Papadopoulos. Zürich: European Mathematical Society, 2010.
Rosenfeld, Boris A. A History of Non-Euclidean Geometry: Evolution of the Concept of a Geometric Space. New York: Springer, 1988.
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