Lei de Benford: anomalias com parâmetros

O astrônomo Simon Newcomb consultava um livro com tabelas para cálculos quando notou que as páginas iniciais estavam mais gastas que aquelas do final. Newcomb (1881) registrou esse fenômeno de as pessoas tenderem a fazer mais cálculos envolvendo números iniciados com os dígitos 1, 2, 3 de modo decrescente do que números com os dígitos iniciais 8 ou 9.

Essa curiosidade permaneceu esquecida até que foi redescoberta de forma independente pelo físico da GE Frank Benford. Depois de analisar um absurdo 20.229 conjuntos de números de fontes aleatórias como listas de acidentes geográficos a taxas de mortalidade, Benford encontrou um parâmetro de distribuição.

Dígito inicial	Frequência
1	30,1%
2	17,6%
3	12,5%
4	9,7%
5	7,9%
6	6,7%
7	5,8%
8	5,1%
9	4,6%

Essa distribuição pode ser representada pela seguinte equação:

Nessa equação, extraída de Melita e Miraglia (2021), considere que 𝜂1 seja um dígito dado, o primeiro número diferente de zero de 𝜂 enquanto 𝑃𝜂1 𝐵 é a probabilidade de Benford desse valor ocorrer.

A Lei de Benford, como foi chamada, atraiu entusiastas de todos os tipos. Depois de que Hill (1995) confirmou algumas condições e incidências, o interesse por esse fenômeno matemático cresceu. Hoje é aplicado desde auditorias fiscais até estudantes desesperados para chutar bem nas provas.

Contudo, vale notar que há três regras que condicionam a aplicação da lei de Benford:

1- O tamanho da amostra deve ser suficientemente grande;

2- Os números não devem conter limites artificiais;

3- Os números não devem ser verdadeiramente aleatórios (haver uma estrutura). 

Apesar dessa equação ser fantástica, alguns pulam para conclusões apressadas. Uma delas é a famosa confusão agência e estrutura. O fato de um fenômeno possuir um parâmetro (como a transição de um carvão para um cristal que é o diamante) não implica que haja uma agência. O surgimento de parâmetros e estrututuras também se deve a outro fenômeno matemático, o teorema de Ramsey.

As aplicações são diversas. Vale a pena testar a “benfordidade” dos grandes números que aparecem.

SAIBA MAIS

Benford, Frank. “The law of anomalous numbers.” Proceedings of the American Philosophical Society (1938): 551-572.

Hill, Theodore P. “Base-invariance implies Benford’s law.” Proceedings of the American Mathematical Society 123.3 (1995): 887-895.

Melita, M.D., Miraglia, J.E., 2021. On the applicability of Benford law to exoplanetary and asteroid data. New Astronomy, 89, Pp. 101654. https://doi.org/10.1016/j.newast.2021.101654

Newcomb, Simon. “Note on the frequency of use of the different digits in natural numbers.” American Journal of mathematics 4.1 (1881):39-40.

O jornalista Latif Nasser faz um excelente panorama desse fenômeno no episódio “Digit” da série de documentários The Hidden Science of Everything (2020), disponível na Netflix.