Simetrias que escaparam: de Galois às partículas elementares

Na noite de 30 de maio de 1832, em um quarto modesto nos arredores de Paris, um jovem de 20 anos escrevia como se tentasse ultrapassar o próprio amanhecer. Ferido, febril, convencido de que morreria em um duelo marcado para as primeiras horas do dia seguinte, Évariste Galois rabiscava páginas e mais páginas de matemática. Entre linhas apressadas, um desabafo recorrente: “Não tenho tempo!”.

Ele estava certo — e errado. Não tinha tempo de vida. Mas tinha acabado de dar ao pensamento científico um tempo quase infinito. O que surgia ali não era apenas uma solução para um problema antigo. Era uma nova maneira de enxergar o que significa compreender alguma coisa. Em vez de perguntar “qual é a resposta?”, Galois ensinava a perguntar “qual é a simetria por trás da pergunta?”

O jovem ígneo: vida curta, ideia longa

Galois nasceu em 1811, na França pós-napoleônica, um país fervilhando de tensões políticas e sonhos republicanos. Filho de um prefeito liberal que acabaria se suicidando após perseguições políticas, o jovem Évariste cresceu num ambiente em que paixão intelectual e indignação cívica andavam juntas. Ele levaria ambas ao extremo.

Precoce, autodidata em matemática avançada, Galois rapidamente percebeu padrões que escapavam a seus professores. Mas sua genialidade vinha com uma impaciência feroz. Reprovou duas vezes o exame de admissão à prestigiosa École Polytechnique, em parte porque suas respostas eram tão sintéticas e abstratas que pareciam incompreensíveis aos examinadores. Seus manuscritos foram enviados a grandes nomes como Cauchy e Fourier — e se perderam, foram ignorados ou mal interpretados.

A frustração intelectual se misturava ao radicalismo político. Galois se envolveu com sociedades republicanas, foi preso, discursou contra a monarquia. Sua vida parecia sempre à beira da explosão. O duelo que o mataria — talvez motivado por intrigas políticas, talvez por um caso amoroso — foi apenas o estopim final de uma existência vivida em alta voltagem.

Na véspera, ele escreveu sua carta-testamento matemática. Não era um conjunto de cálculos detalhados, mas um mapa conceitual. Ele falava de grupos de permutações — estruturas que capturam as simetrias entre as soluções de uma equação. O que estava em jogo já não era encontrar números específicos, mas entender o padrão invisível que governa como esses números podem ser rearranjados sem que a equação deixe de ser a mesma.

A grande virada: da solução à estrutura

Durante séculos, a álgebra foi movida por uma ambição concreta: encontrar fórmulas. Havia fórmulas para equações do segundo grau, depois do terceiro, do quarto. A pergunta natural era: e para o quinto grau?

Muitos tentaram. Galois mudou a pergunta.

Em vez de buscar diretamente as soluções, ele passou a estudar as relações entre elas. Se você troca duas raízes de lugar, o que acontece? A equação continua válida? Quais trocas são “permitidas” sem alterar a estrutura do problema? O conjunto dessas trocas — dessas simetrias — forma o que hoje chamamos de grupo.

Um grupo, em termos simples, é um conjunto de transformações que podem ser combinadas, desfeitas e que incluem uma transformação neutra (não fazer nada). Pode ser o conjunto de rotações de um quadrado, as operações que preservam uma figura geométrica — ou as permutações das raízes de uma equação.

O golpe de gênio de Galois foi perceber que a estrutura desse grupo determina se a equação pode ser resolvida por radicais (isto é, usando apenas somas, multiplicações e raízes). A famosa insolubilidade geral da equação de quinto grau não era um fracasso da técnica: era um fato estrutural. O obstáculo não estava nos números, mas na simetria.

A álgebra deixava de ser a arte de encontrar respostas e se tornava a ciência das estruturas possíveis.

A ideia libertada

Galois morreu no dia seguinte ao duelo. Tinha 20 anos. Seus papéis ficaram dispersos até que, em 1846, o matemático Joseph Liouville publicou seus trabalhos. Aos poucos, a comunidade matemática começou a entender: aquilo não era apenas um método novo, mas uma nova linguagem.

No fim do século XIX, a noção de grupo se espalhava pela geometria com Felix Klein, que classificava geometrias segundo seus grupos de transformações. Na teoria dos números, na análise, na topologia, a ideia central era sempre a mesma: entender um objeto é entender suas simetrias.

A matemática passava por uma mudança filosófica profunda. O foco deixava de ser o que as coisas são e passava a ser como elas podem ser transformadas sem perder sua identidade. A simetria tornava-se a chave da essência.

Quando o universo fala em grupos

No século XX, essa linguagem encontrou seu palco mais grandioso: a física.

Com a teoria da relatividade e a mecânica quântica, os físicos perceberam algo surpreendente: as leis fundamentais da natureza parecem ser ditadas por princípios de simetria. Não é apenas que o mundo tem simetrias; é que ele obedece a elas.

Em 1918, Emmy Noether demonstrou um dos teoremas mais profundos da ciência: para cada simetria contínua de um sistema físico, existe uma lei de conservação. Se as leis da física não mudam com o passar do tempo, então a energia se conserva. Se não mudam ao girarmos o sistema no espaço, o momento angular se conserva. A simetria não é ornamento — é a fonte da regularidade do mundo.

Na física de partículas, essa intuição atinge seu ápice. O chamado Modelo Padrão, que descreve elétrons, quarks e bósons, é essencialmente uma teoria de simetrias. Seu coração matemático é um grupo específico: SU(3) × SU(2) × U(1). As partículas são manifestações — “modos de vibração”, por assim dizer — dessas simetrias fundamentais.

O sonho de uma “Teoria de Tudo” é, em grande parte, o sonho de encontrar o grupo mais profundo, a simetria-mãe da qual todas as outras derivam. É uma busca que ecoa, em escala cósmica, a intuição de um jovem que, em 1832, decidiu olhar não para as soluções, mas para as permutações.

O fantasma na fórmula

A figura de Galois se presta ao mito romântico: o gênio incompreendido, a vida interrompida, a obra reconhecida tarde demais. Mas sua grandeza não está apenas na tragédia. Está no tipo de visão que ele teve sob pressão extrema: a capacidade de abandonar o detalhe e enxergar a forma pura.

Ele nos ensinou que compreender algo profundamente não é apenas descrevê-lo, mas identificar o conjunto de transformações que o deixam essencialmente o mesmo. Essa é a lógica da simetria — e, cada vez mais, a lógica da ciência moderna.

Voltemos, então, àquela noite em Paris. A vela baixa, as páginas cobertas de fórmulas apressadas, a consciência da morte próxima. Galois achava que não tinha tempo. No entanto, ao descobrir a linguagem das simetrias, ele escreveu uma carta para o futuro — uma carta que ainda estamos aprendendo a ler, toda vez que falamos de grupos, de invariâncias, ou da estrutura oculta do universo.