O Teorema de Ramsey: Ordem no Caos

Imagine uma festa com seis pessoas. Algumas se conhecem, outras não. O Teorema de Ramsey, em sua forma mais simples, afirma que, independentemente de como se distribuem as amizades nessa festa, sempre haverá pelo menos um grupo de três pessoas em que ou todas se conhecem mutuamente ou nenhuma se conhece. Coincidência? Bem longe disso. Esse é apenas um exemplo do que esse teorema, proposto pelo matemático britânico Frank P. Ramsey em 1930, pode nos revelar sobre a inevitável emergência de ordem em sistemas aparentemente caóticos.

A ideia central do Teorema de Ramsey é que, em estruturas suficientemente grandes, a completa desordem é impossível. Sempre haverá subestruturas com algum tipo de regularidade ou padrão, mesmo que a estrutura geral pareça aleatória. No exemplo da festa, a estrutura é a rede de relações entre as pessoas, e as subestruturas regulares são os grupos de três pessoas que ou são todos amigos ou todos desconhecidos.

O teorema pode ser generalizado para grupos maiores e com mais de duas relações possíveis. Por exemplo, podemos considerar não apenas “amigos” e “desconhecidos”, mas também “colegas de trabalho”, “familiares”, dentre outros. O Teorema de Ramsey continua a garantir que, em um grupo suficientemente grande, sempre encontraremos subgrupos onde todos os membros compartilham o mesmo tipo de relação.

Definir o “suficientemente grande” é onde reside a complexidade. Os Números de Ramsey representam o tamanho mínimo que uma estrutura deve ter para garantir a existência de uma determinada subestrutura regular. Por exemplo, o número de Ramsey R(3,3) = 6, como vimos no exemplo da festa. Isso significa que em qualquer grupo de seis pessoas, sempre haverá um grupo de três que são todos amigos ou todos desconhecidos. Encontrar os Números de Ramsey para configurações mais complexas é extremamente difícil, e muitos deles permanecem desconhecidos.

A fascinação pelo teorema foi popularizado por matemáticos como Paul Erdős. Erdős era obcecado por problemas relacionados à Teoria de Ramsey. O matemático discreto costumava dizer que se uma força alienígena nos desafiasse a encontrar o valor de R(5,5) (o número mínimo de pessoas necessárias para garantir que ou 5 se conheçam ou 5 não se conheçam) em um ano, deveríamos mobilizar todos os computadores e matemáticos do mundo. Caso contrário, se pedissem R(6,6) deveríamos tentar destruir os alienígenas. A Teoria dos Grafos, área central na qual se insere a Teoria de Ramsey, vibrou com a notícia, pois a melhoria no limite superior representa um avanço significativo em um problema que desafia os matemáticos há oito décadas.

Em uma das maiores descobertas matemáticas de 2023, um grupo de pesquisa brasileiro ajudou a definir um limite superior mais preciso para os números de Ramsey. Voltando à analogia da festa. Você está organizando e quer saber quantas pessoas precisa convidar para garantir que haverá um grupo de cinco pessoas que se conhecem mutuamente ou um grupo de cinco pessoas que nunca se conheceram antes. Os números de Ramsey determinam o tamanho mínimo de um conjunto (como os convidados da festa) para que, inevitavelmente, surja uma estrutura específica (como o grupo de amigos ou de estranhos). A equipe, que incluía os pesquisadores Julian Sahasrabudhe, que era pós-doutorando do IMPA sob a supervisão de Robert Morris, Simon Griffiths e Marcelo Campos, ligados ao Instituto de Matemática Pura e Aplicada (IMPA), obteve um avanço significativo ao refinar esse limite superior, revelando que a inevitabilidade dessas estruturas ocorre em grafos menores do que se pensava anteriormente.

Algumas características intrigantes do Teorema de Ramsey e dos Números de Ramsey:

• Crescimento exponencial: Os Números de Ramsey crescem rapidamente à medida que aumentamos o tamanho dos subgrupos ou o número de relações consideradas. Isso torna o cálculo exato desses números extremamente difícil de se executar.
• Dificuldade computacional: Mesmo para valores relativamente pequenos, determinar os Números de Ramsey exige uma capacidade computacional imensa.
• Aplicação em diversas áreas: O Teorema de Ramsey tem aplicações surpreendentes em áreas como a ciência da computação, a teoria dos grafos, a geometria e até a física.

Apesar da dificuldade em calcular precisamente os Números de Ramsey, o teorema tem implicações filosóficas bem intrigantes. O teorema sugere que a ordem e a estrutura são inevitáveis, mesmo em sistemas que parecem governados pelo acaso. Essa ideia tem ressonância em vários campos, desde a cosmologia até a sociologia, e serve como um lembrete de que a aparente aleatoriedade pode esconder padrões subjacentes ainda não descobertos. Também é um lembrete para não procurar agência em estruturas, pois ordem estruturadas emergem mesmo sem agência.

Disso surgem teorias de conspiração, tentantivas de encontrar códigos na Bíblia ou outro livro volumoso o suficiente para gerar parâmetros. Explicações que ligam todos os pontos, mas não podem ser falseáveis também podem indicar mais o fenômeno emergente de Ramsey que algum parâmetro intencional.

O legal do Teorema de Ramsey é sua capacidade de revelar uma ordem oculta no caos aparente. Ele nos mostra que, em sistemas grandes o suficiente, a regularidade sempre emerge, mesmo que não possamos prever exatamente onde ou como. É um lembrete de que a matemática pode nos ajudar a entender não apenas o mundo que vemos, mas também as estruturas invisíveis que o sustentam.

SAIBA MAIS

• Graham, Ronald L., Bruce L. Rothschild, and Joel H. Spencer. Ramsey theory. John Wiley & Sons, 1990.
• Radziszowski, Stanisław P. “Small Ramsey numbers.” Electronic Journal of combinatorics 1.DS1 (1994): 30.
•  Sahasrabudhe, Julian; Campos, Marcelo; Griffiths, Simon; Morris, Robert (2023). “An exponential improvement for diagonal Ramsey” 10.48550/arXiv.2303.09521