As paralelas que se encontraram: Lobachevsky, Bolyai e a crise do espaço

Durante mais de dois milênios, a humanidade viveu dentro de um edifício intelectual que parecia inabalável. Suas paredes eram linhas retas, seus ângulos perfeitos, suas verdades tão claras que pareciam brotar da própria razão. Esse edifício chamava-se Os Elementos, de Euclides. E, no entanto, desde o início, havia ali uma rachadura.

Ela não estava escondida. Estava escrita, com toda a solenidade de um axioma, no famoso quinto postulado de Euclides— o das paralelas. Diferente dos outros princípios simples e elegantes, ele soava como algo que deveria ser provado, não assumido. Era longo, técnico, quase desconfortável. Ao longo dos séculos, essa estranheza se transformou na mais persistente obsessão da história da matemática: provar o postulado das paralelas e restaurar a pureza da geometria.

Essa busca, porém, não terminaria com uma prova. Terminaria com uma revolução que abalaria não apenas a matemática, mas a própria ideia de realidade.

A fé: quando o espaço era destino

Por séculos, ninguém duvidou de que a geometria euclidiana descrevia o próprio tecido do mundo. A questão era apenas torná-la logicamente perfeita.

Gregos, árabes, europeus medievais e modernos tentaram, geração após geração, derivar o quinto postulado dos demais. Matemáticos como Ptolomeu, Proclo e, mais tarde, Omar Khayyám, produziram argumentos engenhosos. Todos falhavam — mas falhavam de modo sutil, quase imperceptível, sempre assumindo às escondidas algo equivalente ao que tentavam provar.

Aos poucos, ficou claro que provar o quinto postulado era o mesmo que provar afirmações aparentemente óbvias, como: a soma dos ângulos internos de um triângulo é exatamente 180 graus, ou que por um ponto fora de uma reta passa uma única paralela. Essas ideias pareciam tão naturais quanto o nascer do sol. Não eram apenas verdades matemáticas; eram verdades do mundo.

Foi nesse clima que Immanuel Kant deu à geometria euclidiana seu selo filosófico definitivo. Na Crítica da Razão Pura (1781), ele afirmou que o espaço euclidiano não era uma hipótese sobre o mundo, mas a própria forma da sensibilidade humana — uma verdade sintética a priori. Não percebemos o espaço como euclidiano porque ele é assim; ele é assim para nós porque nossa mente é estruturada desse modo.

Questionar Euclides, portanto, era quase uma heresia contra a própria razão.

A heresia: imaginar o impossível

No início do século XIX, alguns matemáticos decidiram adotar uma estratégia radical: e se o quinto postulado fosse falso?

A ideia era usar o método clássico da redução ao absurdo: negar o postulado e mostrar que isso levaria a contradições. Mas algo inesperado aconteceu. Nenhuma contradição aparecia. Em vez disso, surgia um novo tipo de geometria — coerente, rica, estranha.

Três figuras se destacam nesse momento de ruptura.

• Carl Friedrich Gauss, o “príncipe dos matemáticos”, percebeu a possibilidade dessas novas geometrias, mas hesitou em publicá-las. Temia o ridículo, o “clamor dos beócios”, como escreveu em cartas privadas.
• János Bolyai, jovem húngaro de temperamento ardente, foi mais ousado. Em 1823, escreveu ao pai: “Criei, a partir do nada, um mundo novo e estranho.” Sua obra apareceu em 1832, como um apêndice ao livro do pai.
• Nikolai Lobachevsky, na Rússia, foi o mais destemido. A partir de 1829, publicou sistematicamente o que chamou de “geometria imaginária”. Para ele, por um ponto fora de uma reta passavam infinitas paralelas. Em seus triângulos, a soma dos ângulos era menor que 180 graus. As linhas “retas” se comportavam como curvas em uma superfície em sela.

O choque não era apenas técnico. Era filosófico. Mostrava que a coerência lógica não dependia da evidência intuitiva. A matemática não precisava coincidir com nossa experiência imediata do espaço. Kant estava errado: a geometria euclidiana não era a única moldura possível da mente — nem, talvez, do mundo.

A vindicação: quando o espaço se curvou

O passo decisivo veio com Bernhard Riemann, em sua célebre palestra de 1854. Ele fez uma pergunta simples e devastadora: o que é, em geral, um espaço?

Sua resposta não foi uma figura, mas um conceito: o de variedade (manifold). O espaço, disse Riemann, pode ter diferentes curvaturas locais. A geometria euclidiana descreve um espaço de curvatura zero. A de Lobachevsky e Bolyai, um de curvatura negativa. E há ainda a possibilidade de curvatura positiva — como na superfície de uma esfera, onde não existem paralelas e os triângulos têm soma angular maior que 180 graus.

A consequência era explosiva: a estrutura do espaço físico não é uma verdade da razão pura, mas uma questão empírica. Precisamos medir o universo para saber qual geometria o descreve.

Essa ideia, por décadas, pareceu uma especulação elegante e distante. Até que um físico alemão, lutando para entender a gravidade, percebeu algo extraordinário.

Para Albert Einstein, a gravidade não era uma força atuando no espaço; era o próprio encurvamento do espaço-tempo. Em 1915, ao formular a Relatividade Geral, ele recorreu exatamente à linguagem da geometria riemanniana. Planetas não “sentem” uma força; seguem as linhas mais retas possíveis em um espaço curvo.

Quando, em 1919, a luz das estrelas foi observada se desviando ao passar perto do Sol, o mundo viu a confirmação de uma ideia impensável um século antes: o espaço real não obedecia a Euclides.

As “geometrias impossíveis” eram, afinal, a gramática do cosmos.

O legado da rachadura

O quinto postulado de Euclides parecia uma falha a ser corrigida. Tornou-se a porta de saída de uma prisão intelectual.

A história das geometrias não euclidianas é uma lição sobre coragem conceitual. Ela mostra que aquilo que parece autoevidente pode ser apenas um hábito da percepção. Ao explorar seriamente o que parecia absurdo, matemáticos do século XIX libertaram a geometria de sua função descritiva obrigatória e a transformaram em um campo de possibilidades lógicas.

Hoje, quando cosmólogos medem a curvatura do universo em escalas gigantescas, eles continuam uma investigação iniciada na Grécia antiga. Perguntam, em essência: o espaço é plano, como queria Euclides? Ou curvo, como imaginaram seus hereges?

Tudo começou com um incômodo em um livro antigo — e com a recusa de aceitar que o óbvio fosse o limite do pensável.