Considere os números naturais: 0, 1, 2, 3 e assim por diante. Separe os pares dos ímpares. Cada metade pode recompor sozinha a coleção inteira: basta dividir cada par por dois para reencontrar todos os naturais. Com conjuntos infinitos, a parte pode ser tão numerosa quanto o todo. Em 1924, Stefan Banach e Alfred Tarski mostraram que algo parecido acontece com uma bola maciça no espaço tridimensional, e sem renumerar nada. Basta girar e deslocar os pedaços. Uma bola pode ser dividida num número finito de partes que, reposicionadas por movimentos rígidos, formam duas bolas idênticas à original. O teorema não ensina a multiplicar ouro. Ensina que a noção de volume tem limites que a intuição não alcança.
Um todo pode ser dividido em partes que, sem perda nem acréscimo, formem dois todos iguais a ele? Entre as noções comuns dos Elementos de Euclides está a de que o todo é maior que a parte. A geometria dos sólidos apoia-se nessa convicção. Se um corpo é cortado e seus pedaços são rearranjados sem deformação, o volume total se conserva. O teorema de Banach-Tarski mostra que essa conservação depende de uma condição quase nunca explicitada: que os pedaços tenham volume.
Convém fixar os termos. Em linguagem matemática, “esfera” designa a superfície, e o sólido que ela delimita chama-se “bola”. O resultado também não é um paradoxo no sentido lógico, pois não contém contradição alguma. É um teorema demonstrado, chamado de paradoxo apenas porque contraria a expectativa.
O caminho até ele começou duas décadas antes. Em 1905, Giuseppe Vitali construiu um conjunto de números reais ao qual não se pode atribuir comprimento de modo coerente com a medida de Lebesgue. A construção exigia escolher um representante em cada uma de infinitas classes de números, sem regra que determinasse a escolha. Em 1914, Felix Hausdorff levou o fenômeno à superfície da esfera. Mostrou que, descartado um conjunto enumerável de pontos, ela pode ser repartida em três conjuntos tais que cada um é congruente a qualquer outro e também à união dos outros dois. Um terço da esfera equivaleria, assim, a metade dela.
Banach e Tarski partiram desse resultado. Em “Sur la décomposition des ensembles de points en parties respectivement congruentes”, publicado na Fundamenta Mathematicae em 1924, provaram que a bola sólida pode ser duplicada por decomposição finita e movimentos rígidos. Provaram também uma versão mais forte: dois conjuntos limitados quaisquer do espaço, desde que tenham interior não vazio, podem ser decompostos um no outro. Uma ervilha pode, nesse sentido, ser remontada no tamanho do Sol. Em 1947, Raphael Robinson mostrou que cinco pedaços bastam para duplicar a bola e que não é possível fazê-lo com menos.
O mecanismo da prova é mais algébrico do que geométrico. Tomam-se duas rotações do espaço em torno de eixos escolhidos de modo conveniente, digamos a e b, com ângulos tais que nenhuma combinação delas, exceto a trivial, reproduz a posição inicial. As composições possíveis formam o chamado grupo livre de dois geradores. Cada elemento desse grupo é uma “palavra” como ab⁻¹a ou b²a⁻¹, e os elementos diferentes da identidade podem ser classificados pela letra com que começam: a, a⁻¹, b ou b⁻¹. Aplicar a às palavras que começam com a⁻¹ produz todas as palavras que não começam com a. Disso resulta uma dupla reconstrução do grupo inteiro:
Com dois dos quatro pedaços obtém-se o todo, e com os outros dois obtém-se o todo novamente. A duplicação já está no grupo, antes de chegar à bola.
Resta transferi-la para os pontos. As rotações do grupo espalham cada ponto da esfera numa órbita de outros pontos. O Axioma da Escolha permite eleger um representante em cada órbita, e a classificação das palavras passa então dos elementos do grupo aos pontos da superfície. Os pontos fixados por alguma rotação, que formam um conjunto enumerável, recebem tratamento à parte. A passagem da superfície para a bola faz-se pelos raios, e o centro, único ponto que nenhum raio distingue, é absorvido por um ajuste adicional.
Os pedaços obtidos não são gomos de laranja nem peças de quebra-cabeça. São conjuntos não mensuráveis: nenhuma atribuição de volume invariante por movimentos rígidos consegue abrangê-los. Não se trata de “poeira fractal”, imagem comum na divulgação, mas enganosa, pois muitos fractais têm medida perfeitamente definida. Esses conjuntos simplesmente não admitem volume. É por isso que o teorema não contradiz a aritmética elementar: a igualdade entre o volume do todo e a soma dos volumes das partes só vale quando as partes têm volume. Pela mesma razão, o resultado nada diz sobre a conservação da matéria. Um corpo físico é feito de átomos, e nenhuma lâmina corta ao longo de conjuntos cuja definição depende de infinitas escolhas sem regra.
O papel do Axioma da Escolha tornou o teorema um argumento no debate sobre os fundamentos. Ernst Zermelo formulou explicitamente o axioma em 1904, e matemáticos como Émile Borel e Henri Lebesgue desconfiaram de existências asseguradas sem construção. Kurt Gödel mostrou em 1938 que o axioma é consistente com os demais axiomas da teoria dos conjuntos, e Paul Cohen mostrou em 1963 que ele é independente deles. Em 1970, Robert Solovay construiu, sob uma hipótese adicional sobre cardinais grandes, um modelo da teoria dos conjuntos sem o axioma pleno em que todo conjunto de reais é mensurável. Nesse universo, a duplicação da bola não ocorre. O axioma inteiro, contudo, não é indispensável. Janusz Pawlikowski mostrou em 1991 que basta o teorema de Hahn-Banach, um princípio mais fraco.
A dimensão também importa. Na reta e no plano não há paradoxo análogo para comprimento e área. Banach mostrou em 1923 que existe no plano uma medida finitamente aditiva, invariante por isometrias e definida para todos os conjuntos limitados. John von Neumann deslocou em 1929 a explicação do espaço para o grupo de movimentos. Os movimentos do plano formam um grupo “domesticado”, que ele chamou de messbar e hoje se diz amenável. As rotações do espaço tridimensional, ao contrário, contêm um grupo livre, e é esse grupo que torna a duplicação possível. Tarski provaria depois a equivalência precisa: um grupo admite decomposições paradoxais se, e somente se, não admite uma medida finitamente aditiva invariante.
O problema também tem uma contrapartida. Em 1925, Tarski perguntou se um disco pode ser decomposto num quadrado de mesma área. Miklós Laczkovich respondeu afirmativamente em 1990, usando apenas translações e cerca de 10⁵⁰ pedaços, e trabalhos de 2017 mostraram que os pedaços podem até ser escolhidos mensuráveis. Com pedaços mensuráveis, porém, mudar a área é impossível. A forma se revela, portanto, maleável, ao passo que o tamanho só se torna maleável quando os pedaços deixam de ter tamanho.
O teorema alterou, assim, o estatuto da palavra “volume”. Deixou de ser propriedade de todo subconjunto do espaço e passou a ser uma função definida numa classe determinada de conjuntos, os mensuráveis. Fora dela, a pergunta pelo volume de um conjunto não tem resposta falsa. Simplesmente não tem resposta. A intuição geométrica permaneceu válida, mas mudou de lugar: vale para os conjuntos que a medida alcança, não para todos os que a lógica permite construir.
A bola de ouro, portanto, não vira duas. No universo dos conjuntos de pontos ela vira, desde que se aceite que nem toda parte de um corpo tem tamanho. Banach e Tarski não refutaram Euclides: mostraram que a noção de que o todo é maior que a parte pressupõe uma teoria da medida, e que essa teoria tem fronteiras.
SAIBA MAIS
Banach, Stefan; Tarski, Alfred. “Sur la décomposition des ensembles de points en parties respectivement congruentes”. Fundamenta Mathematicae, v. 6, 1924, p. 244–277.
Hausdorff, Felix. Grundzüge der Mengenlehre. Leipzig: Veit, 1914.
Jech, Thomas. The Axiom of Choice. Mineola: Dover, 2008 [1. ed. Amsterdam: North-Holland, 1973].
Robinson, Raphael M. “On the decomposition of spheres”. Fundamenta Mathematicae, v. 34, 1947, p. 246–260.
Tomkowicz, Grzegorz; Wagon, Stan. The Banach-Tarski Paradox. 2. ed. Cambridge: Cambridge University Press, 2016.
von Neumann, John. “Zur allgemeinen Theorie des Maßes”. Fundamenta Mathematicae, v. 13, 1929, p. 73–116.
Wagon, Stan. The Banach-Tarski Paradox. Cambridge: Cambridge University Press, 1985.
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