O número imaginário que era real: √-1

Prólogo: A tormenta mental

Em 1545, Girolamo Cardano publicou a Ars Magna, um marco da álgebra renascentista. Ali, ao apresentar um método geral para resolver equações cúbicas, deparou-se com algo que o inquietou profundamente. Em certos casos — o chamado casus irreducibilis, quando a equação possui três raízes reais distintas — o procedimento algébrico exigia calcular a raiz quadrada de um número negativo. Cardano descreveu essa etapa como “sofisticamente inútil” e uma verdadeira “tormenta mental”. Ainda assim, o método funcionava: atravessava o território do impossível para retornar com respostas perfeitamente reais.

Nascia aí um paradoxo fundador. Uma ferramenta eficaz para resolver problemas concretos exigia a manipulação de entidades que, segundo toda intuição geométrica da época, não podiam existir. A pergunta que pairava — e que guiaria séculos de reflexão — era simples e profunda: como um objeto puramente formal, inicialmente tolerado como ficção útil, se tornaria o alicerce de alguns dos campos mais elegantes e aplicados da matemática?

Os sobreviventes — a necessidade da ficção (séculos XVI–XVIII)

Cardano não resolveu o dilema filosófico que havia aberto. Ele registrou o fenômeno, utilizou o procedimento quando necessário, mas evitou conceder qualquer estatuto ontológico àquela estranha raiz de número negativo. Era um instrumento de passagem, um artifício desconfortável que se tolerava em nome do resultado final.

Quem teve a coragem de ir além foi Rafael Bombelli. Em L’Algebra (1572), ele decidiu encarar de frente os chamados “números selvagens”. Seu gesto foi menos filosófico do que operacional, mas de consequências imensas: se essas entidades apareciam nos cálculos, então era preciso aprender a manipulá-las de modo consistente. Bombelli formulou regras claras para somar, subtrair e multiplicar expressões envolvendo √-1. Em um exemplo célebre, mostrou que
∛(10 + √-108) + ∛(10 − √-108) = 4,
fazendo emergir uma raiz real da soma de duas expressões aparentemente absurdas. Ele chamou √-1 de più di meno (“mais do menos”) e seu oposto de meno di meno. Sem saber, estava dando aos números complexos sua primeira gramática coerente. Pela primeira vez, eles não eram apenas uma ponte provisória, mas entidades com regras próprias de vida.

O batismo definitivo, porém, viria com um tom de desconfiança. Em La Géométrie (1637), René Descartes introduziu a expressão “números imaginários” em contraste com os “reais”. O termo tinha intenção claramente depreciativa: indicava algo fictício, não representável como comprimento em uma linha. A ironia histórica é que o rótulo pegou. Mesmo depois de se tornarem indispensáveis à ciência e à tecnologia, esses números continuariam a carregar o estigma de “imaginários” — talvez o nome mais enganoso da história da matemática.

No século XVIII, Leonhard Euler deu a essas entidades uma identidade simbólica e conceitual definitiva. Ele introduziu a notação i para representar √-1 e revelou a fórmula que mudaria o destino do imaginário:
e^(iθ) = cos θ + i sen θ.
De súbito, o estranho símbolo algébrico tornava-se a ponte natural entre exponenciais e funções trigonométricas. O corolário mais famoso, e^(iπ) + 1 = 0, reuniu em uma única expressão cinco constantes fundamentais da matemática — 0, 1, e, i, π — numa síntese de simplicidade quase mística. O “imaginário” deixava de ser um truque e passava a ser um eixo de unificação.

A concretização — a interpretação que torna real (século XIX)

O grande obstáculo restante era conceitual: como algo “imaginário” poderia ser levado a sério como número? A resposta veio não de um cálculo novo, mas de uma nova forma de ver. Caspar Wessel, Jean-Robert Argand e, sobretudo, Carl Friedrich Gauss propuseram representar um número complexo a + bi como um ponto (a, b) em um plano.

Esse gesto visual foi revolucionário. A unidade imaginária i deixava de ser um fantasma algébrico e passava a ter um significado geométrico claro: multiplicar por i correspondia a girar um vetor 90 graus no plano. Multiplicar por −1 era girar 180 graus. A aritmética complexa tornava-se uma geometria de rotações e escalas. Gauss consolidou essa visão e, ao provar o Teorema Fundamental da Álgebra, mostrou que o conjunto dos números complexos é o cenário natural onde toda equação polinomial encontra suas soluções. A questão deixava de ser “o que são esses números?” e passava a ser “por que limitar a matemática a algo menor que isso?”.

Augustin-Louis Cauchy levou o próximo passo ao fundar a Análise Complexa. Ele descobriu que funções diferenciáveis no sentido complexo — as funções holomorfas — possuem propriedades de regularidade extraordinárias: são infinitamente diferenciáveis, obedecem a teoremas integrais poderosos e são rigidamente determinadas por seus valores em pequenas regiões. O plano complexo revelava-se não apenas um diagrama útil, mas o palco onde as funções exibem sua forma mais simétrica e profunda.

Bernhard Riemann ampliou ainda mais o horizonte. Ao estudar funções multivaloradas, como a raiz quadrada e o logaritmo, percebeu que o problema não estava nas funções, mas no espaço onde tentávamos forçá-las a viver. Sua solução foi criar as superfícies de Riemann — estruturas geométricas que “desdobram” o plano complexo em camadas conectadas, tornando as funções novamente bem comportadas. A análise complexa ganhava profundidade geométrica literal. O mundo das funções revelava-se inseparável da topologia e da geometria das superfícies.

A onipresença — o imaginário como linguagem da realidade (séculos XX–XXI)

No século XX, os números complexos deixaram de ser apenas um capítulo elegante da matemática pura e tornaram-se a linguagem natural da física. No eletromagnetismo e na engenharia elétrica, a notação complexa simplificou drasticamente o estudo de correntes alternadas e ondas, transformando equações diferenciais complicadas em manipulações algébricas diretas.

Na mecânica quântica, o papel de i é ainda mais profundo. O estado de um sistema quântico é descrito por uma função de onda complexa, cujo módulo ao quadrado fornece probabilidades observáveis. A unidade imaginária aparece na própria equação fundamental da teoria, a equação de Schrödinger. Sem i, não haveria interferência, não haveria tunelamento, não haveria a estrutura ondulatória que define o mundo quântico. O “imaginário” tornou-se parte da gramática do real microscópico.

A revolução digital também corre sobre trilhos complexos. A Transformada Rápida de Fourier (FFT), base da compressão de áudio, imagem e vídeo, opera inteiramente no domínio dos números complexos. Sistemas modernos de telecomunicação usam constelações de pontos no plano complexo para codificar e transmitir informação. O universo aparentemente mais concreto da vida cotidiana — telas, sons, dados — depende silenciosamente da aritmética de √-1.

Até mesmo as fronteiras abertas da matemática continuam ancoradas nesse território. A Hipótese de Riemann, talvez o problema mais famoso ainda sem solução, trata dos zeros de uma função complexa, a função zeta de Riemann. Sua eventual resolução promete iluminar a distribuição dos números primos e aprofundar conexões entre análise, aritmética e física teórica.

Uma invenção consistente

A trajetória de √-1 vai da “tormenta mental” de Cardano ao coração da física e da tecnologia contemporâneas. O que começou como um artifício desconfortável, um símbolo tolerado com relutância, revelou-se uma das ideias mais férteis já concebidas.

Há aqui uma lição sobre como a matemática avança. Ela frequentemente introduz entidades que parecem, à primeira vista, meras ficções formais. Mas, quando essas invenções são consistentes, estruturadas e extraordinariamente eficazes para organizar fenômenos, elas ganham um tipo de realidade que não depende de intuição imediata. O universo, por assim dizer, mostra-se surpreendentemente receptivo às construções da imaginação disciplinada.

Quando um estudante hoje hesita diante do i, ele revive, em escala reduzida, a perplexidade de Cardano. A diferença é que a história já pronunciou seu veredito: o imaginário não era um erro de percurso. Era o portal para uma camada mais profunda do real.