Conjectura de Collatz: os números maravilhosos

O matemático alemão Lothar Collatz propôs em 1937 um problema intrigante, que à primeira vista parece simples, mas que esconde uma amplitude ainda não totalmente compreendida. Esse problema ficou conhecido como Conjectura de Collatz, ou também como problema 3x + 1.

O processo é fácil de entender. Escolha um número inteiro positivo. Se o número for par, divida-o por 2. Se for ímpar, multiplique-o por 3 e some 1. Repita o processo com o resultado obtido. Por exemplo, comecemos com o número 6:

• 6 é par, então dividimos por 2, obtendo 3.
• 3 é ímpar, então multiplicamos por 3 e somamos 1, obtendo 10.
• 10 é par, então dividimos por 2, obtendo 5.
• 5 é ímpar, então multiplicamos por 3 e somamos 1, obtendo 16.
• 16 é par, então dividimos por 2, obtendo 8.
• 8 é par, então dividimos por 2, obtendo 4.
• 4 é par, então dividimos por 2, obtendo 2.
• 2 é par, então dividimos por 2, obtendo 1.

Neste caso, após algumas etapas, chegamos ao número 1. A partir daí, o ciclo se repete: 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1… A Conjectura de Collatz afirma que, independentemente do número inteiro positivo inicial, a sequência sempre acabará chegando ao número 1.

Esse padrão foi testado exaustivamente por computadores para números extremamente grandes (da ordem de 2^68), e até agora, nenhum contraexemplo foi encontrado. No entanto, provar matematicamente que essa conjectura é verdadeira para todos os números inteiros positivos se provou um trabalho hercúleo. Não há uma fórmula ou um padrão claro que explique por que todos os números eventualmente caem no ciclo 1, 4, 2, 1. Alguns matemáticos importantes tentaram resolver a questão e não obtiveram sucesso. Paul Erdős, um dos maiores matemáticos do século XX, chegou a dizer que a matemática ainda não estaria pronta para esse tipo de problema.

Alguns padrões interessantes emergem das sequências de Collatz:

• Sequências longas: Alguns números relativamente pequenos geram sequências surpreendentemente longas. O número 27, por exemplo, leva 111 passos para chegar a 1.
• Números “Sementes”: Existem números que parecem ser “pontos de partida” para várias outras sequências. Por exemplo, o número 7 “aparece” nas sequências geradas pelos números 14, 15, 28, 30, entre outros.
• Tendência decrescente: Apesar de muitos saltos e picos nas sequências, existe uma tendência geral de diminuição dos números em direção a 1.

Apesar de sua aparente simplicidade, a Conjectura de Collatz levanta questões sobre a natureza dos números e a imprevisibilidade de certos sistemas matemáticos. Pode haver uma estrutura subjacente mais profunda que ainda não compreendemos, ou pode ser que o comportamento das sequências seja intrinsecamente aleatório.

O fato de a conjectura de Collatz permanecer um mistério contribui para a sua fascinação. Ainda não sabemos se a Conjectura de Collatz é verdadeira ou não. A única certeza é que ela continua a ser um dos problemas em aberto mais instigantes da matemática, um lembrete de que mesmo as operações mais simples podem esconder segredos complexos.

SAIBA MAIS

Lagarias, Jeffrey C. “The 3x+ 1 problem and its generalizations.” The American Mathematical Monthly 92.1 (1985): 3-23.

Lagarias, J. C., ed. The ultimate challenge: the 3x+ 1 problem. American Mathematical Soc., 2010.