Fundamentos da Probabilidade

A probabilidade é um ramo da matemática que lida com a quantificação da incerteza. Ela nos permite calcular a chance de ocorrência de um evento.

Conceitos Básicos

• Experimento: Um processo que leva a resultados bem definidos. Exemplo: lançar uma moeda.
• Espaço Amostral (S): O conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento. Exemplo: {cara, coroa} ao lançar uma moeda.
• Evento (E): Um subconjunto do espaço amostral. Exemplo: obter cara ao lançar uma moeda.
• Probabilidade de um Evento (P(E)): A medida da chance de o evento E ocorrer.

Regras Básicas da Probabilidade

1. Probabilidade entre 0 e 1: A probabilidade de qualquer evento E deve estar entre 0 e 1, inclusive.
   • 0 ≤ P(E) ≤ 1
   • P(E) = 0 significa que o evento é impossível.
   • P(E) = 1 significa que o evento é certo.
2. Probabilidade do Espaço Amostral: A probabilidade de que algum resultado no espaço amostral S ocorra é 1.
   • P(S) = 1
3. Regra da Adição (Eventos Mutuamente Exclusivos): Se os eventos E e F não podem ocorrer ao mesmo tempo (mutuamente exclusivos), a probabilidade de E ou F ocorrer é a soma de suas probabilidades.
   • P(E ou F) = P(E) + P(F)
4. Regra da Adição (Eventos Não Mutuamente Exclusivos): Se os eventos E e F podem ocorrer ao mesmo tempo, a probabilidade de E ou F ocorrer é a soma de suas probabilidades menos a probabilidade de ambos ocorrerem.
   • P(E ou F) = P(E) + P(F) – P(E e F)
5. Regra da Multiplicação (Eventos Independentes): Se os eventos E e F são independentes (a ocorrência de um não afeta a probabilidade do outro), a probabilidade de E e F ocorrerem é o produto de suas probabilidades.
   • P(E e F) = P(E) * P(F)

Probabilidade Condicional

A probabilidade condicional é a probabilidade de um evento ocorrer dado que outro evento já ocorreu. É denotada por P(E | F), que se lê “a probabilidade de E dado F”.  

• Fórmula: P(E | F) = P(E e F) / P(F), desde que P(F) > 0

Teorema de Bayes

O Teorema de Bayes é uma fórmula que descreve como atualizar a probabilidade de uma hipótese com base em novas evidências. É fundamental na inferência Bayesiana.

• Fórmula: P(H | D) = [P(D | H) * P(H)] / P(D)
  • Onde:
    • P(H | D) é a probabilidade da hipótese H dado os dados D (a posterior).
    • P(D | H) é a probabilidade dos dados D dado que a hipótese H é verdadeira (a verossimilhança).
    • P(H) é a probabilidade inicial da hipótese H (a prior).
    • P(D) é a probabilidade total dos dados D.

Distribuições de Probabilidade

Uma distribuição de probabilidade descreve a probabilidade de cada valor de uma variável aleatória.

• Distribuição Binomial:
  • Descreve a probabilidade de um número de sucessos em uma sequência fixa de tentativas independentes, cada uma com dois resultados possíveis (sucesso ou fracasso).
  • Exemplo: A probabilidade de obter um certo número de caras em 10 lançamentos de uma moeda.
• Distribuição Normal:
  • Uma distribuição simétrica em forma de sino, onde a maioria dos dados se concentra em torno da média.
  • Muito comum em fenômenos naturais.
  • Exemplo: A distribuição de alturas em uma população.
• Distribuição de Poisson:
  • Descreve a probabilidade de um dado número de eventos ocorrer em um intervalo fixo de tempo ou espaço, dado que esses eventos ocorrem com uma taxa média conhecida e independentemente do tempo desde a última ocorrência.  
  • Exemplo: O número de chamadas telefônicas recebidas por um call center por hora.