Ahmes e o Papiro de Rhind

Num pedaço de papiro copiado há quase quatro mil anos, um escriba egípcio deixou seu nome e, sem saber, garantiu um lugar na história da matemática. Chamava-se Ahmes. Não era, segundo suas próprias palavras, o autor do que escrevia, mas o copista de um saber mais antigo. Ainda assim, é por meio de sua mão que conhecemos a matemática do Egito faraônico.

Ahmes viveu por volta de 1680 a.C. O que sabemos dele cabe em poucas linhas: era escriba, dominava cálculos práticos e registrou um texto que hoje chamamos Papiro de Rhind, em homenagem ao egiptólogo escocês Alexander Henry Rhind, que o adquiriu no Egito em 1858. Desde 1863, o documento está no Museu Britânico. Às vezes é chamado de “Papiro de Ahmes”, porque o próprio escriba afirma tê-lo copiado de um original ainda mais antigo, de cerca de 2000 a.C.

O papiro é nossa principal fonte sobre a matemática egípcia. Ele não apresenta teoria abstrata, mas uma coleção de exemplos e problemas: divisões, multiplicações, equações, progressões, volumes de celeiros, regras práticas. É matemática de escribas, voltada para medir campos, distribuir pão, calcular estoques.

Multiplicar dobrando

Um dos métodos mais marcantes descritos por Ahmes é a multiplicação por duplicação. Para calcular 41 × 59, por exemplo, o escriba constrói uma tabela de dobramentos:

1	59
2	118
4	236
8	472
16	944
32	1888

Ele para em 32 porque o próximo passo (64) ultrapassaria 41. Depois decompõe 41 como soma de 32 + 8 + 1. Soma então os valores correspondentes na coluna da direita: 1888 + 472 + 59 = 2419.

Toda a multiplicação foi feita só com duplicações e somas. Sem símbolos, sem tabuadas memorizadas, mas com um procedimento sistemático. Hoje reconhecemos aqui a ideia de escrever um número como soma de potências de 2 — em linguagem moderna, uma forma de representação binária. Os egípcios não tinham uma prova formal disso, mas sabiam, pela prática, que sempre funcionava.

O mesmo princípio servia para dividir. Para calcular 1495 ÷ 65, o escriba montava a coluna de duplicações de 65 até passar de 1495 e depois escolhia combinações que somassem o valor desejado. Quando a divisão não era exata, surgiam frações.

Frações — mas só de um tipo

Os egípcios usavam quase exclusivamente frações unitárias, do tipo 1/n. Em vez de escrever 2/5, por exemplo, preferiam decompor em soma de frações diferentes, como 1/3 + 1/15. O Papiro de Rhind traz uma grande tabela com a decomposição de 2/n para n ímpar entre 5 e 101. Não há erros nessa tabela — um feito notável.

Não sabemos exatamente como essas decomposições eram encontradas. Alguns historiadores sugerem que os escribas buscavam denominadores pequenos, poucos termos e preferência por números pares. Outros argumentam que não há evidência de regras fixas, apenas prática experiente.

Essas tabelas eram ferramentas de trabalho. Quando surgia um cálculo envolvendo frações, o escriba recorria a elas como quem consulta uma tábua de logaritmos séculos depois.

Resolver equações sem álgebra

O papiro também mostra métodos para resolver problemas que hoje escreveríamos como equações. No Problema 24, por exemplo:

Uma quantidade somada a sua quarta parte resulta em 15. Qual é a quantidade?

Em símbolos modernos:
x + x/4 = 15.

Ahmes usa o método da falsa posição. Ele escolhe um valor conveniente, x = 4, porque 4 tem quarta parte inteira. Então calcula 4 + 1 = 5. Como o resultado desejado é 15, que é três vezes maior, ele multiplica o palpite por 3 e obtém x = 12. Depois verifica o resultado.

O método continuaria sendo usado por milênios, na matemática árabe medieval e até na Europa renascentista. Não é álgebra simbólica, mas é raciocínio proporcional claro e eficaz.

Contas com frações

Ahmes também mostra como multiplicar números compostos de inteiros e frações unitárias, combinando duplicações e decomposições da tabela. O processo é longo, mas sempre segue regras fixas. Nada é deixado ao improviso: cada fração é quebrada em partes permitidas, cada soma é reorganizada até caber no sistema de frações unitárias.

Essa matemática pode parecer trabalhosa para nós, acostumados a numeradores e denominadores quaisquer. Para o escriba, porém, era um sistema coerente, aprendido e treinado como uma técnica profissional.

A área do círculo

Um dos problemas mais famosos do papiro é o cálculo da área de um campo circular de diâmetro 9 khet. Ahmes instrui:

1. Tire 1/9 do diâmetro → sobra 8
2. Multiplique 8 por 8 → 64

Logo, a área é 64 unidades de área (setat).

Em termos modernos, isso equivale a usar
π ≈ 4 × (8/9)² ≈ 3,1605.

É uma aproximação surpreendentemente boa para a época. Não sabemos como os egípcios chegaram a ela. Há hipóteses que ligam o resultado a padrões geométricos presentes em artes africanas ou a jogos como o mancala, que envolvem comparações de áreas circulares. São conjecturas, mas lembram que a matemática antiga nascia da prática, do desenho, do artesanato, do jogo.

O escriba e o saber antigo

Ahmes não se apresenta como inventor, mas como transmissor. Seu papiro é um manual escolar, um caderno de exemplos para formar outros escribas. Ainda assim, nele vemos uma cultura matemática estruturada: algoritmos claros, técnicas padronizadas, verificação de resultados.

Sem símbolos algébricos, sem provas formais, mas com procedimentos gerais que funcionam. A matemática, aqui, não é contemplação abstrata; é ferramenta de administração, agricultura, construção.

E, no entanto, ao dobrar números e decompor frações, Ahmes estava participando da mesma história que levaria, séculos depois, à aritmética binária, à álgebra e ao cálculo. Seu papiro é um lembrete de que a matemática não começou com letras gregas, mas com mãos que contavam, mediam e escreviam — com tinta e paciência — sobre tiras de junco prensado às margens do Nilo.