Giuseppe Peano e a ambição de fundar o infinito

O que acontece quando um matemático decide que nada deve ser aceito sem definição — nem mesmo o número 1?

No fim do século XIX, enquanto a matemática se expandia em todas as direções, um professor de Turim trabalhava no movimento oposto: reduzir, clarificar, reconstruir desde a base. Giuseppe Peano (1858–1932) não foi apenas um descobridor de teoremas; foi um arquiteto de linguagem, forma e rigor. Seu legado atravessa a aritmética, a análise, a geometria, a lógica e até a linguística — sempre com a mesma obsessão: tornar o pensamento matemático transparente, formal e universal.

Contar sem contar: os Axiomas de Peano

Antes de Peano, os números naturais eram tratados como algo óbvio, quase pré-matemático. Peano fez a pergunta desconcertante: o que são, exatamente, 0, 1, 2, 3…?

Sua resposta veio em 1889, nos Axiomas de Peano, um conjunto de regras simples que definem os números naturais sem recorrer à intuição de “contar objetos”:

1. Existe um número inicial (hoje, 0).
2. Todo número tem um sucessor.
3. 0 não é sucessor de nenhum número.
4. Sucessores de números diferentes são diferentes.
5. Se uma propriedade vale para 0 e vale para o sucessor sempre que vale para um número, então vale para todos (o princípio da indução).

Com isso, a aritmética deixa de ser um hábito mental e se torna uma estrutura lógica. Esses axiomas são a base não apenas da teoria dos números, mas da ciência da computação: recursão, laços e definições indutivas em programação ecoam diretamente essa arquitetura.

A linha que virou área: a Curva de Peano

Em 1890, Peano apresentou algo que parecia um paradoxo visual: uma curva contínua que preenche um quadrado inteiro.

A Curva de Peano é uma linha que se dobra sobre si mesma infinitamente, ocupando cada ponto de uma região bidimensional. Ela não “vira” superfície no sentido usual; continua sendo, topologicamente, um objeto unidimensional. Mas sua imagem cobre uma área.

O choque conceitual foi profundo. A geometria clássica distinguia nitidamente linhas e superfícies. Peano mostrou que, do ponto de vista da continuidade, essa fronteira pode colapsar. Hoje, curvas desse tipo aparecem em compressão de imagens, processamento de sinais e algoritmos que percorrem dados bidimensionais com trajetórias lineares eficientes. A intuição geométrica saiu abalada — e mais rica.

Existir não é saber encontrar: o Teorema de Existência de Peano

Na análise, Peano também ajudou a estabelecer um princípio fundamental: às vezes, a matemática pode garantir que algo existe, mesmo sem nos dar uma fórmula explícita.

O Teorema de Existência de Peano trata de equações diferenciais da forma$$y’ = f(x,y)$$y′=f(x,y)

e afirma que, sob condições bastante gerais de continuidade, existe ao menos uma solução passando por um ponto inicial dado.

Isso não diz como encontrar a solução, nem garante que ela seja única. Mas fornece o alicerce lógico para grande parte da física matemática: modelos de movimento, crescimento populacional ou variação de temperatura só fazem sentido se soubermos que as equações que os descrevem admitem trajetórias reais. Peano ajudou a separar duas questões: existência e construtibilidade.

Medindo o irregular: a Medida de Peano–Jordan

Antes da teoria de Lebesgue dominar a análise, havia o problema de atribuir “tamanho” a conjuntos mais complicados do que retângulos e polígonos.

A medida de Peano–Jordan propõe aproximar uma figura por dentro e por fora com coleções de blocos simples. Quando as duas aproximações convergem para o mesmo valor, esse número é a “área” ou “volume” do conjunto.

O método falha para conjuntos excessivamente irregulares — e justamente essa limitação abriu caminho para a teoria de medida moderna. Mas a ideia de definir grandezas por aproximações sucessivas tornou-se central na análise e na probabilidade.

O Teorema do Núcleo de Peano: integrar é pesar vizinhanças

No estudo de aproximações integrais, o Teorema do Núcleo de Peano fornece uma forma elegante de expressar o erro de certos métodos numéricos como uma integral ponderada — o “núcleo” — da derivada de ordem superior da função.

A intuição é que o valor de uma função pode ser reconstruído a partir de médias locais, com pesos específicos. Essa perspectiva está na base de técnicas de quadratura numérica, análise de sinais e métodos de elementos finitos. Mais uma vez, Peano aparece onde cálculo, aproximação e estrutura se encontram.

Uma nova gramática do pensamento: a notação lógico-simbólica

Peano acreditava que o rigor dependia de linguagem precisa. Ele desenvolveu e popularizou uma notação formal para a lógica — com símbolos para “todo”, “existe”, implicação e negação — que influenciou profundamente Bertrand Russell e a tradição logicista.

A chamada notação Peano–Russell ajudou a transformar a lógica de uma arte filosófica em uma disciplina simbólica manipulável, antecessora direta das linguagens formais da computação. Provar tornou-se, literalmente, calcular com símbolos.

Latino sine flexione: matemática como língua universal

A obsessão de Peano pela clareza ultrapassou a matemática. Ele criou o Latino sine flexione, uma versão simplificada do latim sem declinações ou conjugações complexas. A ideia era oferecer uma língua neutra e internacional para a ciência.

A proposta nunca se tornou dominante, mas revela algo essencial sobre seu projeto intelectual: para Peano, progresso científico exigia não apenas boas ideias, mas meios de expressão universais e não ambíguos. Sua utopia linguística ecoa hoje no inglês técnico padronizado e nas linguagens formais. As linguagens de programação são descendentes diretos de seu projeto.

Espaços vetoriais: a álgebra da estrutura

Peano também contribuiu para a axiomatização de estruturas algébricas como os espaços vetoriais: conjuntos de objetos que podem ser somados e multiplicados por escalares segundo regras simples.

Essa formalização abstrai vetores geométricos e os transforma numa linguagem geral para física, gráficos computacionais, estatística e aprendizado de máquina. Ao enfatizar axiomas em vez de representações concretas, Peano ajudou a consolidar o estilo estrutural da matemática moderna.

Superfícies estranhas: a Superfície de Peano

Assim como sua curva preenchia uma área, a chamada Superfície de Peano explora como objetos bidimensionais podem se dobrar e se enredar no espaço tridimensional de maneiras que desafiam a intuição. Esses exemplos extremos alimentaram o desenvolvimento da topologia, onde a forma importa menos que a conectividade e a continuidade.

O rigor como aventura

Peano não foi lembrado por um único “grande teorema”, mas por algo mais raro: uma transformação do estilo matemático. Ele insistiu que números, funções, espaços e provas precisavam ser definidos com precisão quase linguística. Onde outros viam intuição suficiente, ele via ambiguidade a ser eliminada.

Seu trabalho está na base de como ensinamos aritmética, escrevemos lógica simbólica, modelamos sistemas físicos e estruturamos dados abstratos. Até suas excentricidades linguísticas refletem a mesma convicção: pensar bem exige falar — e simbolizar — bem.

Se a matemática moderna parece um edifício de vidro e aço, transparente e estrutural, muito disso se deve ao arquiteto discreto de Turim que decidiu começar do zero. Literalmente.

SAIBA MAIS

https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Peano/